Beweis eines Booleschen Theorems durch perfekte Induktion

Es gibt zumindest zwei Wege einen Theorem darzustellen: die klassische algebraische Methode und der perfekte Induktionsfall, der in Boolescher Algebra sehr nützlich ist.

Dieser zweite Weg besagt, dass wenn man die Wahrhaftigkeit aller möglichen Inputkombinationen eines Theorems überprüft, dann ist der Theorem in seiner Ganzheit wahr. Dies ist, wenn es in jedem der Fälle erreicht wird, auch im generellen erreicht. Dieser Weg kann in Boolescher Algebra verwendet werden, da die Variablen nur zwei mögliche Wert: 0 und 1 haben, während in unserer Algebra, jede Variable unendlich viele Werte haben kann.

Z. B., um die verteilten Eigenschaften einer Summe in Abhängigkeit vom Produkt zu zeigen (welches in allgemeiner Algebra nicht erfüllt ist).  X+(Y·Z) = (X+Y)·(X+Z)

 

X

Y

Z

X+(Y·Y)

(X+Y)·(X+Z)

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

IIn der Tafel kann man sehen, dass alle möglichen Werte für X, Y und Z, die Ausdrücke X+(Y·Z) und (X+Y)·(X+Z) identisch sind und dadurch, durch perfekte Induktion, beide Ausdrücke äquivalent sind. Der Mechanismus der Demonstration durch perfekte Induktion ist in Boolescher Algebra sehr nützlich.

 

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