Boole-tétel bizonyítása tökéletes indukció révén
Egy tétel legalább kétféleképpen bizonyítható: e klasszikus algebrai módszerrel és a tökéletes indukcióval, amely nagyon hasznos a Boole-algebrában.
Ez utóbbi szerint ha egy tétel igazságát minden lehetséges bemeneti kombinációra leellenőrizzük, akkor a tétel teljes egészében igaz. Azaz ha minden egyes esetben teljesül, akkor általában is teljesül. Ez a módszer használható a Boole-algebrában, hiszen a változóknak csak két lehetséges értéke lehet, azaz 0 és 1, míg az általános algebrában minden változó korlátlan értéket vehet fel.
Így például az összeadás szorzattal szembeni megosztott tulajdonságának bizonyítása (amely nem teljesül az általános algebrában). X+(Y·Z) = (X+Y)·(X+Z)
|
X |
Y |
Z |
X+(Y·Y) |
(X+Y)·(X+Z) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
A táblában látszik, hogy az X, Y és Z minden lehetséges értékénél az X+(Y·Z) és az (X+Y)·(X+Z) azonos, így tökéletes indukcióval a két kifejezés egyenlő. A Boole-algebrában a tökéletes indukcióval végzett bizonyítás módszere nagyon hasznos.